Eulerova totientna funkcija - Značenje, primjeri, kako izračunati?

Što je Eulerova totientna funkcija?

Eulerova funkcija Totient je matematička multiplikativna funkcija koja broji pozitivne cijele brojeve do zadanog cijelog broja koji se obično naziva 'n', a koji je prost broj do 'n', a funkcija se koristi za poznavanje broja prostih brojeva koji postoje do s obzirom na cijeli broj 'n'.

Obrazloženje

Da bi se znalo koliko prostih brojeva dolazi do zadanog cijelog broja 'n' koristi se Eulerova funkcija tocijanta. Naziva se i aritmetička funkcija. Za primjenu ili upotrebu Eulerove funkcije Totient važne su dvije stvari. Jedno je da bi gcd formiran iz zadanog cijelog broja 'n' trebao biti multiplikativan jedni drugima, a drugi je da bi brojevi gcd trebali biti samo prosti brojevi. Cijeli broj 'n' u ovom slučaju trebao bi biti veći od 1. Iz negativnog cijelog broja nije moguće izračunati Eulerovu funkciju tocijanta. Princip je, u ovom slučaju, da za ϕ (n) multiplikatori zvani m i n trebaju biti veći od 1. Dakle, označeni s 1

Povijest

Euler je ovu funkciju predstavio 1763. U početku je Euler koristio grčki π za označavanje funkcije, ali zbog nekih problema njegova oznaka grčkog π nije dobila priznanje. I nije mu uspio dati odgovarajući notacijski znak, tj. Φ. Stoga se funkcija ne može uvesti. Dalje, ϕ je preuzet iz Gauss-ovih Disquisitiones Arithmeticae iz 1801. godine. Funkcija se naziva i funkcijom phi. Ali JJ Sylvester, 1879. godine, uključio je izraz totient za ovu funkciju zbog svojstava i upotrebe funkcija. Različita pravila uokvirena su kako bi se radilo s različitim vrstama danih cijelih brojeva, na primjer ako je cijeli broj p prost broj, koje pravilo treba primijeniti, itd. Sva pravila koja je Euler uokvirio izvediva su i mogu se koristiti i danas dok se bavimo isti.

Svojstva Eulerove tocijantske funkcije

Postoje neka različita svojstva. Neka od svojstava Eulerove tocijantske funkcije su kao pod:

  • Φ je simbol koji se koristi za označavanje funkcije.
  • Funkcija se bavi teorijom prostih brojeva.
  • Funkcija je primjenjiva samo u slučaju pozitivnih cijelih brojeva.
  • Za ϕ (n) treba pronaći dva multiplikativna prosta broja za izračunavanje funkcije.
  • Funkcija je matematička funkcija i korisna je na mnogo načina.
  • Ako je cijeli broj 'n' prost broj, tada je gcd (m, n) = 1.
  • Funkcija radi na formuli 1 <m <n gdje su m i n prosti brojevi i multiplikativni brojevi.
  • Općenito, jednadžba je
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Funkcija u osnovi broji pozitivne cijele brojeve manje od zadanog cijelog broja, što je relativno prosti broj danog cijelog broja.
  • Ako je zadani cijeli broj p prost, tada je ϕ (p) = p - 1
  • Ako je snaga p prosta tada, ako je a = p n prosta snaga, tada je ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) nije jedan - jedan
  • ϕ (n) nije na.
  • ϕ (n), n> 3 je uvijek paran.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Izračunajte Eulerovu funkciju tocijanta

Primjer # 1

Izračunaj ϕ (7)?

Riješenje:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Kako su svi brojevi prosti brojevi 7, stoga je olakšalo izračunavanje ϕ.

Primjer # 2

Izračunaj ϕ (100)?

Riješenje:

Kako je 100 velik broj, stoga je dugotrajno izračunati od 1 do 100 prostih brojeva koji su prosti brojevi sa 100. Stoga primjenjujemo donju formulu:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Primjer # 3

Izračunaj ϕ (240)?

Višestruki od 240 su 16 * 5 * 3, tj. 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

ako n M nije prost broj, koristimo n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Primjer # 4

Izračunaj ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Prijave

Različite su aplikacije navedene ispod:

  • Funkcija se koristi za definiranje RSA sustava šifriranja koji se koristi za internetsku sigurnosnu enkripciju.
  • Koristi se u teoriji prostih brojeva.
  • Također se koristi u velikim izračunima.
  • Koristi se u primjenama elementarne teorije brojeva.

Zaključak

Eulerova totientna funkcija korisna je na mnogo načina. Koristi se u RSA sustavu šifriranja, koji se koristi u sigurnosne svrhe. Funkcija se bavi teorijom prostih brojeva, a korisna je i u proračunu velikih izračuna. Funkcija se također koristi u algebarskim proračunima i osnovnim brojevima. Simbol koji se koristi za označavanje funkcije je ϕ, a naziva se i phi funkcijom. Funkcija se sastoji od više teoretske, a ne praktične upotrebe. Praktična upotreba funkcije je ograničena. Funkcija se može bolje razumjeti kroz razne praktične primjere, a ne samo kroz teorijska objašnjenja. Postoje različita pravila za izračunavanje Eulerove funkcije totienta, a za različite brojeve moraju se primijeniti različita pravila. Funkcija je prvi put predstavljena 1763. godine, ali zbog nekih problema,priznanje je dobio 1784., a naziv je izmijenjen 1879. Funkcija je univerzalna funkcija i može se primijeniti svugdje.

Zanimljivi članci...