Hipergeometrijska raspodjela (definicija, formula) - Kako izračunati?

Definicija hipergeometrijske raspodjele

U statistici i teoriji vjerojatnosti, hipergeometrijska raspodjela je u osnovi zasebna raspodjela vjerojatnosti koja definira vjerojatnost k uspjeha (tj. Neke slučajne izvlačenja za izvučeni objekt koji ima neko određeno obilježje) u n broja izvlačenja, bez ikakve zamjene, od određenog veličina populacije N koja uključuje točno K objekata koji imaju tu značajku, gdje izvlačenje može uspjeti ili ne uspjeti.

Formula za vjerojatnost hipergeometrijske raspodjele izvedena je pomoću broja stavki u populaciji, broja stavki u uzorku, broja uspjeha u populaciji, broja uspjeha u uzorku i nekoliko kombinacija. Matematički se vjerojatnost prikazuje kao,

P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

gdje,

  • N = Broj stavki u populaciji
  • n = broj predmeta u uzorku
  • K = Broj uspjeha u populaciji
  • k = broj uspjeha u uzorku

Srednja i standardna devijacija hipergeometrijske raspodjele izražava se kao,

Prosjek = n * K / N Standardno odstupanje = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2

Obrazloženje

Korak 1: Prvo odredite ukupan broj predmeta u populaciji, koji je označen s N. Na primjer, broj igraćih karata u špilu je 52.

Korak 2: Zatim odredite broj predmeta u uzorku, označen s n-na primjer, broj karata izvučenih iz špila.

Korak 3: Zatim odredite slučajeve koji će se smatrati uspjesima u populaciji, a označava se s K. Na primjer, broj srca u ukupnoj špilu, koji je 13.

Korak 4: Zatim odredite primjere koji će se smatrati uspjesima u izvučenom uzorku, a označava se s k. Npr. Broj srca na kartama izvučenim iz špila.

Korak 5: Napokon, formula za vjerojatnost hipergeometrijske raspodjele izvedena je pomoću broja stavki u populaciji (korak 1), broja stavki u uzorku (korak 2), broja uspjeha u populaciji (korak 3) i broj uspjeha u uzorku (korak 4) kako je prikazano dolje.

P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

Primjeri hipergeometrijske raspodjele (s Excel predloškom)

Primjer # 1

Uzmimo primjer običnog špila s igraćim kartama gdje se nasumično izvlači 6 karata bez zamjene. Odredite vjerojatnost crtanja točno 4 crvene suite kartice, tj. Dijamanata ili srca.

  • S obzirom na to, N = 52 (budući da se u običnom špilu igraju 52 karte)
  • n = 6 (Broj slučajno izvučenih karata s špila)
  • K = 26 (budući da postoji 13 crvenih kartona u paketu dijamanata i srca)
  • k = 4 (Broj crvenih kartona koji se smatraju uspješnima u izvučenom uzorku)

Riješenje:

Stoga se vjerojatnost izvlačenja točno 4 crvene suite karte na izvučenih 6 karata može izračunati pomoću gornje formule kao,

Vjerojatnost = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

= 26 C 4 * (52 - 26) C (6 - 4) / 52 C 6

= 26 ° C 4 * 26 C 2 / 52 C 6

= 14950 * 325/20358520

Vjerojatnost će biti -

Vjerojatnost = 0,2387 ~ 23,87%

Stoga postoji 23,87% vjerojatnosti da ćete izvući točno 4 crvena kartona dok izvlačite 6 slučajnih karata iz običnog špila.

Primjer # 2

Uzmimo još jedan primjer novčanika koji sadrži 5 novčanica od 100 dolara i 7 novčanica od 1 dolara. Ako su slučajno odabrane 4 novčanice, odredite vjerojatnost odabira točno 3 novčanice od 100 dolara.

  • Dano, N = 12 (broj računa od 100 USD + broj računa od 1 USD)
  • n = 4 (Broj računa odabran slučajnim odabirom)
  • K = 5 (budući da postoji 5 računa od 100 USD)
  • k = 3 (Broj novčanica od 100 USD koje se smatraju uspjehom u odabranom uzorku)

Riješenje:

Stoga se vjerojatnost odabira točno 3 novčanice od 100 dolara u slučajno odabranih 4 novčanice može izračunati pomoću gornje formule kao,

Vjerojatnost = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

= 5 C 3 * (12 - 5) C (4 - 3) / 12 C 4

= 5 ° C 3 * 7 C 1 / 12 ° C 4

= 10 * 7/495

Vjerojatnost će biti -

Vjerojatnost = 0,1414 ~ 14,14%

Stoga postoji 14,14% vjerojatnosti da ćete odabrati točno 3 novčanice od 100 dolara dok izvlačite 4 slučajna računa.

Relevantnost i namjene

Koncept hipergeometrijske raspodjele važan je jer pruža točan način određivanja vjerojatnosti kada broj pokusa nije jako velik i ako se uzorci uzimaju iz konačne populacije bez zamjene. Zapravo je hipergeometrijska raspodjela analogna binomnoj raspodjeli, koja se koristi kada je broj pokusa bitno velik. Međutim, hipergeometrijska raspodjela uglavnom se koristi za uzorkovanje bez zamjene.

Zanimljivi članci...