Poissonova raspodjela (Značenje, formula) - Kako izračunati?

Sadržaj

Što je Poissonova distribucija?

Što je Poissonova distribucija?

U statistikama se Poissonova raspodjela odnosi na funkciju raspodjele koja se koristi za analizu varijance koja nastaje u odnosu na pojavu određenog događaja u prosjeku u svakom od vremenskih okvira, tj. Pomoću ovog se može pronaći vjerojatnost jednog događaja u određenim vrijeme događaja i odstupanje od prosječnog broja događaja.

Jednadžba Poissonove raspodjele dana je u nastavku:

P (x; u) = (e ^-u ) * (u ^x ) / x!

Gdje

u = prosječni broj pojavljivanja tijekom vremenskog razdoblja
P (x; u) = vjerojatnost x broja slučajeva tijekom vremenskog razdoblja
X = broj pojava za koje treba znati vjerojatnost

Obrazloženje

Formula je sljedeća-

P (x; u) = (e -u). (U x) / x!

Gdje

u = prosječni broj pojavljivanja tijekom vremenskog razdoblja
X = broj pojava za koje treba znati vjerojatnost
P (x; u) = vjerojatnost x broja slučajeva tijekom zadanog vremenskog razdoblja u je prosječan broj pojavljivanja
e = Eulerov broj, koji je osnova prirodnog logaritma, približno vrijednost e je 2,72
x! = Poznat je kao x factorial. Faktorijal broja je umnožak te cijele i svih cijelih brojeva u nastavku. Za npr. 4! = 4 * 3 * 2 * 1

Primjeri

Primjer # 1

Uzmimo jednostavan primjer Poissonove formule raspodjele. Prosječna pojava događaja u danom vremenskom okviru je 10. Kolika bi bila vjerojatnost da se taj događaj dogodi 15 puta?

U ovom primjeru, u = prosječni broj pojavljivanja događaja = 10

I x = 15

Stoga se proračun može izvršiti na sljedeći način,

P (15; 10) = e (- 10) * 10 15/15!

P (15; 10) = 0,0347 = 3,47%

Stoga postoji 3,47% vjerojatnosti da se taj događaj dogodi 15 puta.

Primjer # 2

Primjena Poissonove jednadžbe distribucije može se vidljivo poboljšati u produktivnosti i operativnoj učinkovitosti tvrtke. Pomoću njega se može saznati je li financijski isplativo otvarati trgovinu 24 sata dnevno.

Recimo da Walmart u SAD-u planira otvoriti svoju trgovinu 24 sata dnevno. Da bi saznali održivost ove opcije, isprva će uprava Walmarta saznati prosječan broj prodaja između 12 ponoći i 8 sati ujutro. Sada će izračunati ukupne operativne troškove za radnu smjenu od 12 do 20 sati. Na temelju ovih operativnih troškova, Walmartova uprava zna da je najmanji broj prodajnih jedinica koji imaju besparicu. Zatim će s Poissonovom formulom za distribuciju otkriti vjerojatnost tog prodajnog broja i vidjeti hoće li biti moguće otvoriti trgovinu 24 sata dnevno ili ne.

Na primjer, recimo da prosječni trošak rada na dan iznosi 10.000 USD od 12 do 20 sati. Prosječna bi prodaja tada iznosila 10.200 USD. Kako bi ostvarili besparicu, svaki bi dan prodaja trebala iznositi 10.000 USD. Sada ćemo saznati vjerojatnost prodaje od 10.000 USD na dan ili manje, tako da se može postići neograničeni prihod

Stoga se proračun može izvršiti na sljedeći način,

P (10,000,10200) = POISSON.DIST (10200,10000, ISTINITO)

P (10.000.10200) = 97,7%

Stoga postoji 97,7% vjerojatnosti za prodaju 10.000 USD ili manje dnevno. Na isti način, postoji 50,3% vjerojatnosti za 10.200 USD ili manje za Dell na dan. To znači da je vjerojatnost prodaje između 10.000 i 10.200 47,4%. Stoga postoji dobra šansa za tvrtku da ostvari kompenzaciju.

Primjer # 3

Još jedna upotreba Poissonove formule raspodjele je u industriji osiguranja. Tvrtka koja posluje u osiguranju određuje iznos premije na temelju broja šteta i iznosa traženih godišnje. Dakle, kako bi procijenilo iznos premije, osiguravajuće društvo će odrediti prosječni broj zahtjevanog iznosa godišnje. Zatim će na temelju tog prosjeka utvrditi i najmanji i najveći broj zahtjeva koji se mogu razumno podnijeti u godini. Na temelju maksimalnog broja iznosa štete i troškova i dobiti od premije, osiguravajuće društvo će odrediti kakav će iznos premije biti dobar da se raspodijeli njegovo poslovanje.

Recimo da je prosječan broj šteta koje dnevno obrađuje osiguravajuće društvo 5. Otkriće se kolika je vjerojatnost od 10 šteta dnevno.

Stoga se proračun Poissonove raspodjele može izvesti na sljedeći način,

P (10; 5) = e (- 5). 5 10/10!

P (10; 5) = 1,81%

Stoga je vrlo mala vjerojatnost da će tvrtka imati 10 zahtjeva dnevno, a na temelju tih podataka može ostvariti premiju.

Relevantnost i namjene

Jednadžba Poissonove raspodjele vrlo je korisna u otkrivanju brojnih događaja s danim vremenskim okvirom i poznatom brzinom. Slijede neke od primjena formule:

U industriji pozivnih centara kako bi saznali vjerojatnost poziva, što će potrajati više nego obično, i na temelju toga saznati prosječno vrijeme čekanja za korisnike.
Da biste saznali maksimalan i minimalan broj prodaja u neparnim satima i saznali je li izvedivo otvoriti trgovinu u to vrijeme.
Da biste saznali vjerojatnost brojnih prometnih nesreća u vremenskom intervalu.
Da biste saznali vjerojatnost maksimalnog broja pacijenata koji dolaze u određenom vremenskom okviru,
Broj maksimuma i minimuma i klikova na web mjestu.
Da biste saznali korake posjetitelja u tržnom centru, restoranu itd.
Da biste saznali vjerojatnost maksimalnog i minimalnog broja šteta u godini.

Poissonova distribucija u Excelu

Vrlo je lako saznati Poissonovu distribuciju pomoću excela. Postoji excel funkcija za otkrivanje vjerojatnosti događaja. Ispod je sintaksa funkcije-

Gdje

x = broj pojava za koje treba znati vjerojatnost
Prosjek = prosječni broj pojavljivanja tijekom vremenskog razdoblja
Kumulativno = vrijednost će biti False ako nam treba točna pojava događaja i True ako će broj slučajnih događaja biti između 0 i tog događaja.

Uzet ćemo isti primjer 1 koji smo uzeli gore. Ovdje je x = 15, srednje = 10 i morat ćemo pronaći vjerojatnost točnog broja događaja. Dakle, treći će argument biti lažan.