Formula za izračunavanje binomne raspodjele
Formula binomne raspodjele koristi se za izračunavanje vjerojatnosti postizanja x uspjeha u n pokusa binomnog eksperimenta koji su neovisni, a vjerojatnost se dobiva kombinacijom broja pokusa i broja uspjeha predstavljenih nCx pomnoženo s vjerojatnošću postignutog uspjeha na snagu broja uspjeha predstavljenih px-om koja se dalje pomnožava s vjerojatnošću neuspjeha podignutih na stepen razlike između broja uspjeha i broja pokusa predstavljenih s (1-p) nx.
Vjerojatnost postizanja x uspjeha u n neovisnih pokusa binomnog eksperimenta daje se sljedećom formulom binomne raspodjele:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
gdje je p vjerojatnost uspjeha
U gornjoj jednadžbi koristi se n C x , što nije ništa drugo doli kombinacijska formula. Formula za izračunavanje kombinacija daje se kao n C x = n! / x! (nx)! gdje n predstavlja broj predmeta (neovisna ispitivanja), a x predstavlja broj predmeta koji se odabiru u isto vrijeme (uspjesi).
U slučaju da je n = 1 u binomnoj raspodjeli, raspodjela je poznata kao Bernoullijeva raspodjela. Srednja vrijednost binomne raspodjele je np. Varijansa binomne raspodjele je np (1-p).
Proračun binomne raspodjele (korak po korak)
Izračun binomne raspodjele može se izvesti pomoću sljedeća četiri jednostavna koraka:
- Korak 1: Izračunajte kombinaciju između broja pokusa i broja uspjeha. Formula za n C x je gdje n! = n * (n-1) * (n-2) … * 2 * 1. Za broj n, faktor n može se zapisati kao n! = n * (n-1)! Na primjer, 5! je 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Korak 2: Izračunajte vjerojatnost uspjeha podignutu u potenciju broja uspjeha koji su p x .
- Korak 3: Izračunajte vjerojatnost neuspjeha podignutu u moć razlike između broja uspjeha i broja pokusa. Vjerojatnost kvara je 1-p. Dakle, ovo se odnosi na dobivanje (1-p) nx
- Korak 4: Doznajte proizvod rezultata dobivenih u 1., 2. i 3. koraku.
Primjeri
Primjer # 1
Broj pokusa (n) je 10. Vjerojatnost uspjeha (p) je 0,5. Izvršite proračun binomne raspodjele kako biste izračunali vjerojatnost postizanja točno šest uspjeha.
Riješenje:
Za izračun binomske raspodjele upotrijebite sljedeće podatke.
Izračun binomne raspodjele može se izvršiti na sljedeći način,
P (x = 6) = 10 ° C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Vjerojatnost postizanja točno 6 uspjeha bit će-
P (x = 6) = 0,2051
Vjerojatnost postizanja točno 6 uspjeha je 0,2051
Primjer # 2
Menadžer osiguravajućeg društva pregledava podatke polica osiguranja koje prodaju trgovci osiguranja koji rade pod njim. Otkriva da su 80% ljudi koji kupuju automobilsko osiguranje muškarci. Želi otkriti da bi, ako je nasumično odabrano 8 vlasnika auto-osiguranja, kolika bila vjerojatnost da je točno 5 od njih muškaraca.
Rješenje: Prvo moramo saznati što su n, p i x.
Izračun binomne raspodjele može se izvršiti na sljedeći način,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Vjerojatnost točno 5 uspjeha bit će-
P (x = 5) = 0,14680064
Vjerojatnost da će točno 5 vlasnika automobilskih osiguranja biti muškarci je 0,14680064.
Primjer # 3
Uprava bolnice uzbuđena je zbog uvođenja novog lijeka za liječenje pacijenata s karcinomom, jer je šansa da se osoba njime uspješno liječi vrlo velika. Vjerojatnost da se pacijent uspješno liječi lijekom je 0,8. Lijek se daje 10 bolesnika. Pronađite vjerojatnost da će se 9 ili više pacijenata uspješno liječiti.
Rješenje: Prvo moramo saznati što je n, p i x.
Moramo pronaći vjerojatnost da će se 9 ili više pacijenata uspješno liječiti. Dakle, njime se uspješno liječi ili 9 ili 10 pacijenata
x (broj za koji morate pronaći vjerojatnost) = 9 ili x = 10
Moramo pronaći P (9) i P (10)
Izračun binomne raspodjele za pronalaženje P (x = 9) može se izvršiti na sljedeći način,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2) 1
= 10 * 0,134217728 * 0,2
Vjerojatnost 9 pacijenata bit će-
P (x = 9) = 0,2684
Izračun binomne raspodjele za pronalaženje P (x = 10) može se izvršiti na sljedeći način,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
Vjerojatnost 10 pacijenata bit će-
P (x = 10) = 0,1074
Prema tome, P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Dakle, vjerojatnost liječenja lijekom od 9 ili više pacijenata je 0,375809638.
Kalkulator binomne raspodjele
Možete koristiti sljedeći kalkulator binomne raspodjele.
| n | |
| str | |
| x | |
| Formula binomne raspodjele = | |
| Formula binomne raspodjele = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Relevantnost i upotreba
- Ishoda su samo dva
- Vjerojatnost svakog ishoda ostaje stalna od ispitivanja do ispitivanja
- Postoji fiksni broj ispitivanja
- Svako je ispitivanje neovisno, tj. Međusobno se isključuje
- Pruža nam raspodjelu učestalosti mogućeg broja uspješnih ishoda u danom broju ispitivanja, gdje svako od ovih ispitivanja ima jednaku vjerojatnost uspjeha.
- Svako ispitivanje u binomnom eksperimentu može rezultirati samo dva moguća ishoda. Stoga je naziv "binom". Jedan od tih ishoda poznat je kao uspjeh, a drugi kao neuspjeh. Na primjer, bolesni ljudi mogu odgovoriti na liječenje ili ne.
- Slično tome, kada bacimo novčić, možemo imati samo dvije vrste ishoda: glave ili repovi. Binomna raspodjela je diskretna raspodjela koja se koristi u statistici, a koja se razlikuje od kontinuirane raspodjele.
Primjer binomnog eksperimenta je bacanje novčića, recimo triput. Kad okrenemo novčić, moguća su samo dva ishoda - glave i repovi. Vjerojatnost svakog ishoda je 0,5. Budući da se novčić baca tri puta, broj pokušaja je fiksan, odnosno 3. Na vjerojatnost svakog bacanja ne utječu druga bacanja.
Binomna raspodjela nalazi primjenu u statistici društvenih znanosti. Koristi se za razvijanje modela za dihotomne varijable ishoda gdje postoje dva ishoda. Primjer toga je bi li republikanci ili demokrati pobijedili na izborima.
Binomna formula distribucije u Excelu (s excel predloškom)
Saurabh je o jednadžbi binomne raspodjele naučio u školi. Želi o konceptu razgovarati sa sestrom i kladiti se s njom. Mislio je da će deset puta baciti nepristran novčić. Želi se kladiti 100 dolara na dobivanje točno pet repova u 10 bacanja. Za ovu okladu želi izračunati vjerojatnost dobivanja točno pet repova u 10 bacanja.
Rješenje: Prvo moramo saznati što je n, p i x.
Postoji ugrađena formula za binomsku distribuciju Excel, koja je
To je BINOM.DIST (broj uspjeha, ispitivanja, vjerojatnost uspjeha, FALSE).
U ovom primjeru binomne raspodjele bio bi:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) gdje ćelija B2 predstavlja broj uspjeha, stanica B3 predstavlja broj pokusa, a stanica B4 vjerojatnost uspjeha.
Stoga će proračun binomne raspodjele biti
P (x = 5) = 0,24609375
Vjerojatnost dobivanja točno 5 repova u 10 bacanja je 0,24609375
Napomena: FALSE u gornjoj formuli označava funkciju mase vjerojatnosti. Izračunava vjerojatnost da će biti točno n uspjeha iz n neovisnih pokusa. ISTINA označava kumulativnu funkciju raspodjele. Izračunava vjerojatnost postizanja najviše x uspjeha iz n neovisnih pokusa.
