Definicija teorema središnje granice
Teorem o središnjoj granici kaže da će se slučajni uzorci slučajne varijable populacije s bilo kojom raspodjelom približiti normalnoj raspodjeli vjerojatnosti kako se veličina uzorka povećava i pretpostavlja da će, kako veličina uzorka u populaciji prelazi 30, srednja vrijednost uzorka čiji će prosjek svih promatranja za uzorak b biti jednak prosjeku za populaciju.
Formula teorema središnje granice
Već smo raspravljali da kada veličina uzorka prelazi 30, raspodjela poprima oblik normalne raspodjele. Za određivanje normalne raspodjele varijable važno je znati njezinu srednju vrijednost i varijancu. Normalna raspodjela može se navesti kao
X ~ N (µ, α)
Gdje
- N = broj zapažanja
- µ = srednja vrijednost opažanja
- α = standardna devijacija
U većini slučajeva opažanja ne otkrivaju mnogo u sirovom obliku. Stoga je vitalno standardizirati opažanja kako bismo to mogli usporediti. Radi se uz pomoć z-rezultata. Za promatranje je potrebno izračunati Z-rezultat. Formula za izračunavanje z-rezultata je
Z = (X- µ) / α / √n
Gdje
- Z = Z-rezultat opažanja
- µ = srednja vrijednost opažanja
- α = standardna devijacija
- n = veličina uzorka
Obrazloženje
Teorem o središnjoj granici navodi da će se slučajni uzorci varijable slučajne populacije s bilo kojom raspodjelom približiti normalnoj raspodjeli vjerojatnosti kako se veličina uzorka povećava. Teorem o središnjoj granici pretpostavlja da će, kako veličina uzorka u populaciji prelazi 30, srednja vrijednost uzorka, koja je prosjek svih promatranja za uzorak, biti približno jednaka prosjeku za populaciju. Također, standardna devijacija uzorka kada veličina uzorka prelazi 30 bit će jednaka standardnoj devijaciji populacije. Budući da je uzorak nasumično odabran iz cijele populacije, a veličina uzorka je veća od 30, tada pomaže u testiranju hipoteza i konstrukciji intervala pouzdanosti za testiranje hipoteze.
Primjeri formule teorema središnjeg ograničenja (s Excel predloškom)
Primjer # 1
Shvatimo koncept normalne raspodjele uz pomoć primjera. Prosječni povrat uzajamnog fonda je 12%, a standardno odstupanje od srednjeg povrata ulaganja uzajamnog fonda 18%. Ako pretpostavimo da je raspodjela povrata normalno raspodijeljena, tumačimo raspodjelu povrata ulaganjem uzajamnog fonda.
S obzirom,
- Prosječni povrat ulaganja iznosit će 12%
- Standardno odstupanje bit će 18%
Dakle, da bismo saznali povrat za interval pouzdanosti od 95%, možemo ga saznati rješavanjem jednadžbe kao
- Gornji raspon = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Donji raspon = 12 - 1,96 (18) = -23%
Rezultat znači da će se povrat uzajamnog fonda u 95% slučajeva kretati u rasponu od 47% do -23%. U ovom primjeru, veličina uzorka, koja predstavlja povratak slučajnog uzorka od više od 30 promatranja povratka, pružit će nam rezultat za povratak stanovništva uzajamnog fonda jer će se distribucija uzorka normalno raspodijeliti.
Primjer # 2
Nastavljajući s istim primjerom, odredimo kakav će biti rezultat za interval pouzdanosti od 90%
S obzirom,
- Prosječni povrat ulaganja iznosit će 12%
- Standardno odstupanje bit će 18%
Dakle, da bismo saznali povrat za interval pouzdanosti od 90%, možemo ga saznati rješavanjem jednadžbe kao
- Gornji raspon = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Donji raspon = 12 - 1,65 (18) = -18%
Rezultat znači da će povrat uzajamnog fonda u 90% slučajeva biti u rasponu od 42% do -18%.
Primjer # 3
Nastavljajući s istim primjerom, odredimo kakav će biti rezultat za interval pouzdanosti od 99%
S obzirom,
- Prosječni povrat ulaganja iznosit će 12%
- Standardno odstupanje bit će 18%
Dakle, da bismo saznali povrat za interval pouzdanosti od 90%, možemo ga saznati rješavanjem jednadžbe kao
- Gornji raspon = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Donji raspon = 12 - 2,58 (18) = -34%
Rezultat znači da će povratak iz uzajamnog fonda u 99% slučajeva biti u rasponu od 58% do -34%.
Relevantnost i upotreba
Teorem o središnjoj granici izuzetno je koristan jer omogućava istraživaču da uz pomoć uzorka predvidi srednju vrijednost i standardnu devijaciju cijele populacije. Kako je uzorak nasumično odabran iz cijele populacije, a veličina uzorka je veća od 30, tada će se bilo koja slučajna veličina uzorka uzeta iz populacije približiti uobičajenoj distribuciji, što će pomoći u testiranju hipoteza i izgradnji intervala pouzdanosti za testiranje hipoteze. Na temelju teorema o središnjoj granici, istraživač može odabrati bilo koji slučajni uzorak iz cijele populacije, a kada je veličina uzorka veća od 30,tada može predvidjeti populaciju uz pomoć uzorka jer će uzorak slijediti normalnu raspodjelu, a također će srednja vrijednost i standardna devijacija uzorka biti jednaka srednjoj vrijednosti i standardnoj devijaciji populacije.
