Formula za izračunavanje standardne normalne raspodjele
Standardna normalna raspodjela je vrsta raspodjele vjerojatnosti koja je simetrična oko prosjeka ili srednje vrijednosti, prikazujući da se podaci u blizini prosjeka ili srednje vrijednosti javljaju češće u usporedbi s podacima koji su daleko od prosjeka ili srednje vrijednosti. Rezultat na standardnoj normalnoj raspodjeli može se nazvati "Z-rezultat".
Formula standardne normalne raspodjele predstavljena je kao ispod -
Z - ocjena = (X - µ) / σ
Gdje,
- X je normalna slučajna varijabla
- µ je prosjek ili srednja vrijednost
- σ je standardno odstupanje
Tada iz gornje tablice moramo izvesti vjerojatnost.
Obrazloženje
Standardna normalna raspodjela redom riječi koje se nazivaju Z-raspodjela ima sljedeća svojstva:
- Ima prosjek ili kaže sredinu nule.
- Ima standardno odstupanje, koje je jednako 1.
Pomoću standardne normalne tablice možemo saznati površine ispod krivulje gustoće. Z-rezultat je bolan u standardnoj normalnoj raspodjeli i treba ga tumačiti kao broj standardnih odstupanja kada je točka podataka ispod ili iznad prosjeka ili srednje vrijednosti.
Negativni Z-rezultat označava rezultat koji je ispod srednje vrijednosti ili prosjeka, dok negativni Z-rezultat znači da je točka podataka iznad srednje vrijednosti ili prosjeka.
Standardna normalna raspodjela slijedi pravilo 68-95-99,70, koje se naziva i empirijskim pravilom, i prema tome Šezdeset osam posto danih podataka ili vrijednosti ulaze u okvir 1 standardne devijacije prosjeka ili srednje vrijednosti, dok devedeset i pet posto mora pasti unutar 2 standardne devijacije, i konačno, devedeset i devet decimalnih sedam posto vrijednosti ili podataka spadaju u 3 standardne devijacije prosjeka ili srednje vrijednosti.
Primjeri
Primjer # 1
Uzmite u obzir srednju vrijednost koja vam je dana 850, a standardno odstupanje 100. Morate izračunati standardnu normalnu raspodjelu za rezultat iznad 940.
Riješenje:
Za izračun standardne normalne raspodjele upotrijebite sljedeće podatke.
Dakle, izračunavanje z rezultata može se izvršiti na sljedeći način -
Z - rezultat = (X - µ) / σ
= (940 - 850) / 100
Z Rezultat će biti -
Z ocjena = 0,90
Sada, koristeći gornju tablicu standardne normalne raspodjele, imamo vrijednost 0,90 kao 0,8159 i moramo izračunati ocjenu iznad one koja je P (Z> 0,90).
Treba nam pravi put do stola. Stoga bi vjerojatnost bila 1 - 0,8159, što je jednako 0,1841.
Dakle, samo 18,41% rezultata leži iznad 940.
Primjer # 2
Sunita pohađa privatnu nastavu za matematičke predmete, a trenutno ima oko 100 učenika upisanih u nju. Nakon prvog testa koji je polagala za svoje učenike, dobila je sljedeće prosječne brojeve, postigla ih je i rangirala ih procentualno.
Riješenje:
Prvo zacrtamo ono što ciljamo, a to je lijeva strana lijeka. P (Z <75).
Za izračun standardne normalne raspodjele upotrijebite sljedeće podatke.
Za to prvo moramo izračunati srednju vrijednost i standardno odstupanje.
Izračun srednje vrijednosti može se izvršiti na sljedeći način -
Prosjek = (98 + 40 + 55 + 77 + 76 + 80 + 85 + 82 + 65 + 77) / 10
Prosjek = 73,50
Izračun standardne devijacije može se izvršiti na sljedeći način -
Standardno odstupanje = √ (∑ (x - x) / (n-1))
Standardno odstupanje = 16,38
Dakle, izračunavanje z rezultata može se izvršiti na sljedeći način -
Z - rezultat = (X - µ) / σ
= (75 - 73,50) / 16,38
Z Rezultat će biti -
Z Rezultat = 0,09
Sada koristeći gornju tablicu standardne normalne raspodjele, imamo vrijednost za 0,09 kao 0,5359, a to je vrijednost za P (Z <0,09).
Stoga je 53,59% učenika postiglo ocjenu ispod 75.
Primjer # 3
Vista limited izložbeni je salon elektroničke opreme. Želi analizirati svoje potrošačko ponašanje. Ima oko 10.000 kupaca po gradu. U prosjeku kupac potroši 25.000 kada je u pitanju njegova trgovina. Međutim, potrošnja značajno varira jer kupci troše od 22.000 do 30.000, a prosjek ove varijance oko 10.000 kupaca do kojih je došlo u upravi vista limited iznosi oko 500.
Uprava Viste limited vam se obratila i zanima ih koliki udio njihovih kupaca troši više od 26.000? Pretpostavimo da su podaci o potrošnji kupca normalno raspodijeljeni.
Riješenje:
Prvo zacrtamo ono što ciljamo, a to je lijeva strana lijeka. P (Z> 26000).
Za izračun standardne normalne raspodjele upotrijebite sljedeće podatke.
Izračun z ocjene može se izvršiti na sljedeći način -
Z - rezultat = (X - µ) / σ
= (26000 - 25000) / 500
Z rezultat će biti-
Z Rezultat = 2
Izračun standardne normalne raspodjele može se izvršiti na sljedeći način -
Standardna normalna raspodjela bit će-
Koristeći gornju tablicu standardne normalne raspodjele, imamo vrijednost za 2,00, što je 0,9772, a sada moramo izračunati za P (Z> 2).
Treba nam pravi put do stola. Stoga bi vjerojatnost bila 1 - 0,9772, što je jednako 0,0228.
Stoga 2,28% potrošača troši iznad 26000.
Relevantnost i upotreba
Da biste donijeli informiranu i pravilnu odluku, treba pretvoriti sve rezultate na sličnu ljestvicu. Treba standardizirati te rezultate, pretvarajući ih sve u standardnu normalnu raspodjelu metodom Z rezultata, s jednim standardnim odstupanjem i jedinstvenim prosjekom ili srednjom vrijednosti. To se uglavnom koristi na polju statistike, a također i na polju financija koje trgovci također koriste.
Mnoge statističke teorije pokušale su modelirati cijene imovine (u područjima financija) pod glavnom pretpostavkom da će slijediti ovu vrstu normalne raspodjele. Raspodjela cijena uglavnom ima masnije repove, a time i kurtozu, koja je veća od 3 u stvarnim scenarijima. Primijećeno je da takva imovina ima kretanje cijena koja su veća od 3 standardna odstupanja iznad prosjeka ili srednje vrijednosti i češće od očekivane pretpostavke u normalnoj raspodjeli.
