Što je log-normalna distribucija?
Log-normalna raspodjela je kontinuirana raspodjela slučajnih varijabli čiji su logaritmi normalno raspodijeljeni. Drugim riječima, lognormalna raspodjela generira se funkcijom e x , gdje bi x (slučajna varijabla) trebala biti normalno raspodijeljena. U prirodnom logaritmu e x je x, logaritmi lognormalno raspoređenih slučajnih varijabli normalno su raspoređeni.
Varijabla X se normalno distribuira ako je Y = ln (X), gdje je ln prirodni logaritam.
- Y = e x
- Pretpostavimo prirodni logaritam s obje strane.
- lnY = ln e x što rezultira lnY = x
Stoga možemo reći da ako X kao slučajna varijabla ima normalnu raspodjelu, tada Y ima lognormalnu raspodjelu.
Formula normalne distribucije dnevnika
Formula funkcije gustoće vjerojatnosti lognormalne raspodjele definirana je srednjom vrijednosti μ i standardnom devijacijom σ, koja se označava sa:
Parametri log-normalne raspodjele
Log-normalnu raspodjelu karakteriziraju sljedeća tri parametra:
- σ , standardna devijacija dnevnika raspodjele, koja se naziva i parametrom oblika. Parametar oblika općenito utječe na cjelokupni oblik lognormalne raspodjele, ali ne utječe na mjesto i visinu grafikona.
- m , medijan raspodjele, poznat i kao parametar ljestvice.
- Θ , parametar lokacije koji se koristi za lociranje grafa na x osi.
Srednja i standardna devijacija dva su glavna parametra lognormalne raspodjele i ona su izričito definirana s ta dva parametra.
Sljedeća slika prikazuje normalnu distribuciju i log-normalnu distribuciju.
Iz gornje slike mogli bismo primijetiti sljedeće značajke log-normalne distribucije.
- Log-normalne raspodjele pozitivno su iskrivljene udesno zbog nižih srednjih vrijednosti i veće varijance u slučajnim varijablama u razmatranju.
- Lognormalna raspodjela uvijek je ograničena odozdo na 0, jer pomaže u modeliranju cijena imovine, za koje se ne očekuje da nose negativne vrijednosti.
- Lognormalna raspodjela pozitivno je iskrivljena velikim brojem malih vrijednosti i uključuje nekoliko glavnih vrijednosti, što rezultira time da je srednja vrijednost vrlo često veća od modusa.
Iz gornje slike mogli smo primijetiti da je log-normalna raspodjela ograničena na 0 i pozitivno je nagnuta udesno, što se moglo primijetiti po njenom dugom repu udesno. Ova dva opažanja smatraju se glavnim svojstvima lognormalnih raspodjela. U praksi su se lognormalne raspodjele pokazale vrlo korisnima u raspodjeli cijena kapitala ili imovine, dok je normalna raspodjela vrlo korisna u procjeni očekivanih povrata imovine tijekom određenog vremenskog razdoblja.
Primjeri log-normalne raspodjele
Slijedi nekoliko primjera gdje se mogu koristiti distribucije normalne u dnevnik:
- Količina plina u rezervi energije i nafte.
- Količina proizvodnje mlijeka.
- Količina kiše.
- Potencijalni život proizvodnih i industrijskih jedinica čije šanse za preživljavanje karakterizira stopa stresa.
- Opseg razdoblja u kojem postoji bilo koja zarazna bolest.
Primjena i primjena log-normalne distribucije
Slijede aplikacije i namjene log-normalne distribucije.
- Najčešće korištena i popularna raspodjela je normalna raspodjela, koja je normalno raspodijeljena i simetrična te tvori krivulju u obliku zvona koja je modelirala razne prirodne od jednostavnih do vrlo složenih.
- Ali postoje slučajevi kada se normalna distribucija suočava s ograničenjima gdje se lognormalna distribucija može lako primijeniti. Normalna raspodjela može uzeti u obzir negativnu slučajnu varijablu, s, ali lognormalna raspodjela predviđa samo pozitivne slučajne varijable.
- Jedna od različitih primjena gdje se lognormalna raspodjela koristi u financijama gdje se primjenjuje u analizi cijena imovine. Očekivani prinos na imovinu prikazuje se u normalnoj raspodjeli, ali cijene imovine prikazuju se u lognormalnoj raspodjeli.
- Pomoću lognormalne krivulje raspodjele možemo lako izračunati složenu stopu povrata imovine tijekom određenog vremenskog razdoblja.
- U slučaju da smo primijenili normalnu raspodjelu za izračunavanje cijena imovine tijekom određenog vremenskog razdoblja, postoje mogućnosti dobivanja povrata manjih od -100%, što naknadno pretpostavlja cijene imovine manje od 0. Ali ako koristimo lognormalnu raspodjelu za procjenu spoja stope povrata u određenom vremenskom razdoblju, lako možemo otkloniti situaciju dobivanja negativnih povrata jer lognormalna raspodjela uzima u obzir samo pozitivne slučajne varijable.
- Relativna cijena je cijena imovine na kraju razdoblja podijeljena s početnom cijenom imovine, koja je jednaka 1 plus povrati razdoblja držanja. Da bismo pronašli kraj imovine cijene razdoblja, možemo je dobiti množenjem s relativnom cijenom pomnoženom s početnom cijenom imovine. Lognormalna raspodjela ima samo pozitivnu vrijednost; stoga cijena imovine na kraju razdoblja ne može biti ispod 0.
Log-normalna raspodjela u modeliranju cijena dionica
Log-normalna raspodjela korištena je za modeliranje raspodjele vjerojatnosti dionica i mnogih drugih cijena imovine. Na primjer, primijetili smo da se lognormalno pojavljuje u modelu određivanja cijena opcije Black-Scholes-Merton, gdje postoji pretpostavka da se cijena temeljne opcije imovine istodobno logično distribuira.
Zaključak
- Normalna raspodjela je raspodjela vjerojatnosti, za koju se kaže da je asimetrična i zvonasta krivulja. U normalnoj raspodjeli, 69% ishoda spada u jedno standardno odstupanje, a 95% spada u dva standardna odstupanja.
- Zbog popularnosti normalne distribucije, većina ljudi je upoznata s konceptom i primjenom normalne distribucije, ali u to vrijeme izgleda da nisu jednako upoznati s konceptom lognormalne distribucije. Normalna raspodjela može se pretvoriti u lognormalnu raspodjelu uz pomoć logaritama, što postaje temeljna osnova jer lognormalne raspodjele smatraju jedinom slučajnom varijablom koja je normalno raspodijeljena.
- Lognormalne raspodjele mogu se koristiti zajedno s normalnom raspodjelom. Lognormalne raspodjele rezultat su pretpostavke ln, prirodnog logaritma u kojem je baza jednaka e = 2,718. Pored zadane baze, lognormalna raspodjela mogla bi se izvršiti i pomoću druge baze, što bi naknadno utjecalo na oblik lognormalne raspodjele.
- Lognormalna raspodjela prikazuje grafikon dnevnika normalno raspoređenih slučajnih varijabli iz krivulja normalne raspodjele. Ln, prirodni log je poznat e, eksponent kojem treba podići bazu da se dobije željena slučajna varijabla x, koja se može naći na krivulji normalne raspodjele.
