Definicija metode regresije najmanjih kvadrata
Regresijska metoda najmanjih kvadrata oblik je regresijske analize koja uspostavlja odnos između ovisne i neovisne varijable zajedno s linearnom linijom. Ova se linija naziva "linijom koja najbolje odgovara".
Regresijska analiza statistička je metoda pomoću koje se može procijeniti ili predvidjeti nepoznate vrijednosti jedne varijable iz poznatih vrijednosti druge varijable. Varijabla koja se koristi za predviđanje varijable kamate naziva se neovisnom ili objašnjenom varijablom, a varijabla koja se predviđa naziva se ovisnom ili objašnjenom varijablom.
Razmotrimo dvije varijable, x & y. Oni su ucrtani na grafikon s vrijednostima x na vrijednostima x osi y na y osi. Te su vrijednosti predstavljene točkama na donjem grafikonu. Kroz točke se povlači ravna crta - koja se naziva linija koja najbolje odgovara.
Cilj regresije najmanjih kvadrata je osigurati da linija povučena kroz ponuđeni skup vrijednosti uspostavi najbliži odnos između vrijednosti.
Formula regresije najmanjih kvadrata
Linija regresije prema metodi najmanjih kvadrata izračunava se prema sljedećoj formuli -
ŷ = a + bx
Gdje,
- ŷ = ovisna varijabla
- x = neovisna varijabla
- a = presjek y
- b = nagib crte
Nagib linije b izračunava se pomoću sljedeće formule -
Ili
Y-presjek, 'a' izračunava se pomoću sljedeće formule -
Linija najboljeg uklapanja u najmanje kvadratnoj regresiji
Linija koja najbolje odgovara je ravna crta povučena kroz razbacane točke podataka koja najbolje predstavlja odnos između njih.
Razmotrimo sljedeći graf u kojem se skup podataka crta duž x i y osi. Te su podatkovne točke prikazane pomoću plavih točaka. Kroz ove točke povučene su tri crte - zelena, crvena i plava linija. Zelena linija prolazi kroz jednu točku, a crvena kroz tri podatkovne točke. Međutim, plava linija prolazi kroz četiri podatkovne točke, a udaljenost između preostalih točaka do plave crte minimalna je u usporedbi s druge dvije crte.
U gornjem grafikonu plava linija predstavlja liniju koja najbolje odgovara, jer leži najbliže svim vrijednostima, a udaljenost između točaka izvan crte i linije je minimalna (tj. Udaljenost između ostataka do crte koja najbolje odgovara) - naziva se i zbrojevima kvadrata ostataka). U druga dva retka, narančastom i zelenom, udaljenost između ostataka do linija veća je u usporedbi s plavom linijom.
Metoda najmanjih kvadrata pruža najbliži odnos između ovisnih i neovisnih varijabli minimiziranjem udaljenosti između ostataka i crte koja najbolje odgovara, tj. Zbroj kvadrata ostataka je minimalan u ovom pristupu. Otuda i izraz "najmanji kvadrati".
Primjeri linije regresije najmanjih kvadrata
Primijenimo ove formule u donjem pitanju -
Primjer # 1
Pojedinosti koje se odnose na iskustvo tehničara u poduzeću (kroz niz godina) i njihova ocjena izvedbe navedeni su u donjoj tablici. Koristeći ove vrijednosti, procijenite ocjenu učinkovitosti tehničara s 20 godina iskustva.
| Iskustvo tehničara (u godinama) | Ocjena izvedbe |
| 16 | 87 |
| 12 | 88 |
| 18 | 89 |
| 4 | 68 |
| 3 | 78 |
| 10 | 80 |
| 5 | 75 |
| 12 | 83 |
Riješenje -
Da bismo prvo izračunali najmanje kvadrate, izračunati ćemo presjek Y (a) i nagib linije (b) kako slijedi -
Nagib Linije (b)
- b = 6727 - ((80 * 648) / 8) / 1018 - ((80) 2 /8)
- = 247/218
- = 1,13
Y-presretanje (a)
- a = 648 - (1,13) (80) / 8
- = 69,7
Linija regresije izračunava se na sljedeći način -
Zamjenjujući vrijednost 20 vrijednosti x u formuli,
- ŷ = a + bx
- ŷ = 69,7 + (1,13) (20)
- ŷ = 92,3
Ocjena performansi tehničara s 20 godina iskustva procjenjuje se na 92,3.
Primjer # 2
Jednadžba najmanjih kvadrata regresije koristeći Excel
Jednadžba najmanjih kvadrata regresije može se izračunati pomoću excela u sljedećim koracima -
- Umetnite tablicu podataka u excel.
- Umetnite grafikon raspršenja pomoću podatkovnih točaka.
- Umetnite liniju trenda unutar grafikona raspršenja.
- Pod opcijama trendline - odaberite linearnu liniju trenda i odaberite jednadžbu prikaza na grafikonu.
- Na grafikonu je prikazana jednadžba najmanjih kvadrata za dati skup excel podataka.
Dakle, izračunava se jednadžba regresije najmanjih kvadrata za zadani skup excel podataka. Pomoću jednadžbe mogu se napraviti predviđanja i analize trendova. Alati Excel također omogućuju detaljne regresijske izračune.
Prednosti
- Metoda regresijske analize s najmanjim kvadratima najprikladnija je za modele predviđanja i analizu trenda. Najbolje se koristi u područjima ekonomije, financija i tržišta dionica gdje se vrijednost bilo koje buduće varijable predviđa uz pomoć postojećih varijabli i odnosa između istih.
- Metoda najmanjih kvadrata pruža najbliži odnos između varijabli. Razlika između suma kvadrata ostataka i crte koja najbolje odgovara ovoj je metodi minimalna.
- Mehanizam izračuna je jednostavan i jednostavan za primjenu.
Mane
- Metoda najmanjih kvadrata oslanja se na uspostavljanje najbližeg odnosa između zadanog skupa varijabli. Mehanizam izračunavanja osjetljiv je na podatke, a u slučaju bilo kakvih odstupanja (iznimnih podataka), rezultati mogu uglavnom utjecati.
- Ova vrsta izračuna najprikladnija je za linearne modele. Za nelinearne jednadžbe primjenjuju se iscrpniji računski mehanizmi.
Zaključak
Metoda najmanjih kvadrata jedna je od najpopularnijih metoda za predviđanje modela i analizu trendova. Kada se izračuna na odgovarajući način, donosi najbolje rezultate.
